Dérivée d'une fonction du 2e degré degré

Reproduisons la même démarche à partir de la fonction du 2e degré f (x) = x2 - 8x + 20

1)
Sur l'animation ci-dessous, déplacez le point A faisant ainsi apparaître la courbe de la dérivée f '(x)
 

 


2)
Déplacez le curseur sur Oui pour faire apparaître précisément la courbe y = f '(x) ainsi que son équation.
 
3)  f (x) est du 2e degré. Qu'en est-il de f '(x) ?
 

Cherchons maintenant algébriquement l'expression de la dérivée de cette fonction \(\small{f(x)=x^2-8x+20}\) en introduisant un calcul de limite semblable à celui qui vous a été présenté précédement.

\(\hspace{12pt}{\footnotesize f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{(x^2-8x+20)-(a^2-8a+20)}{x-a}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^2-8x-a^2+8a}{x-a} }\)

\(\hspace{12pt}{\footnotesize \phantom{f'(a)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^2-a^2-8x+8a}{x-a}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{(x+a)(x-a)-8(x-a)}{x-a}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{(x-a)[(x+a)-8]}{x-a}}\)

\(\hspace{12pt}{\footnotesize \phantom{f'(a)}=\lim\limits_{x\to a}(x+a)-8=\underline{2a-8} }\)

1) Par convention, à la fin du calcul de limite, la fonction f '(a) est reconvertie en f '(x) en changeant la variable a en x. On obtient donc:

Si \(\footnotesize{f(x) = x^2-8x+20} \quad\) alors\(\quad \footnotesize{f'(x) = 2x- 8}\)

 À RETENIR:
  • D'une première fonction f (x), on en calcule une deuxième f '(x).
     
  • Cette fonction dérivée s'obtient à l'aide du calcul de la limite suivante:  

    \(\footnotesize{f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}\)

    que l'on reconvertit en f '(x) en remplaçant tous les a par x.
     
  • Il ne faut pas perdre de vue que la dérivée f '(x) permet de calculer la pente de la tangente à la courbe
    \(\footnotesize{y = f(x)}\) en tous points A(x ; f (x))

 

Suite des éléments Théoriques
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