f '(x): la dérivée d'une fonction f (x)

ou comment généraliser la pente de la tangente en chaque point de la courbe

Précédemment, nous avons vu comment un calcul de limite permettait d'obtenir la pente de la tangente en un point A fixé à l'avance. L'idée est de généralier ceci afin d'obtenir la pente des tangentes en tous les points où cela est possible.

1)
Sur l'animation ci-dessous, déplacer le point A et observer les différentes valeurs de la pente de la tangente f '(x) dans le petit tableau de valeurs.
 

2) Si on prend note de quelques valeurs ainsi obtenues dans le tableau, on obtient:
 
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f '(x)
3
1,67
0,67
0
-0,33
-0,33
0
0,67
1,67
3
4,67

3)
En déplaçant le point A, vous avez vu apparaître une nouvelle courbe violette. Celle-ci correspond aux points de coordonnées (x ; f '(x)) du tableau de valeurs précédent.
Il paraît alors naturel de se demander quelle est la fonction qui correspond exactement à cette nouvelle courbe. Sur la figure ci-dessus, cette nouvelle courbe semble être une parabole. Il doit donc s'agir d'une fonction du 2ème degré.
Celle-ci s'obtenant à partir de f (x), on l'appelera la fonction dérivée.
 
4) En déplaçant le petit curseur sur Oui, vous obtiendrez l'expression de la fonction dérivée de f (x) que l'on code également f '(x).
 
A RETENIR:
  • La fonction dérivée f '(x) généralise la notion de pente à toutes les valeurs de x où cela est possible.
     
  • On associera à toutes valeurs de x (sur l'axe Ox) un point dont la 2ème coordonnée correspond à la pente de la tangente de la courbe y = f (x) au point A(x; f (x)). On obtient ainsi une nouvelle courbe dont son expression s'appelle dérivée de f (x) codé f '(x).
          

Suite des éléments Théoriques
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