Intérêts composés

Si vous déposez 3200.- dans une banque qui vous propose un intérêt annuel de 6%, quelle somme disposerez-vous 7 ans plus tard ?

Vous reconnaissez une situation où l'on utilise la formule d'intérêt composé:

 

où

 C0 = capital de départ
   i = taux d'intérêt
  n = nombre de périodes d'intérêt par année
  t = nombre d'années
  Cn = Capital après t années.

Sur l'animation qui suit, vous donne la réponse de C7 = 4811,62 Frs.

a) Déplacez le point bleu C0 indiquant le capital de départ. Par exemple, si C0 = 4000.- alors C7 = 6014,52 Frs.
b) En déplaçant le point rouge t, contrôlez que le capital après 4 ans est de C4 = 5049,91 Frs.
c) Modifier le curseur du taux pour le ramener à 3%. Ainsi C4 = 4502,04 Frs.
d) Et si on capitalise cette somme semestriellement, chaque année doit donc être découpée en 2 périodes.
    Déplacez alors le curseur nombre de période sur 2. Vous constatez qu'une "grande marche d'escalier
    annuelle" a été remplacée par 2 plus petites. Durant cette 4ème année, nous aurons:

C4 = 4505,97 Frs (1er semestre), C4 = 4573,56 Frs (2ème semestre)

    Déplacez ce même curseur afin de découper une année en 21 périodes. La courbe en escalier semble
    maintenant continue.
e) En déplaçant le dernier curseur sur Oui, vous voyez apparaître en vert la courbe de la fonction de l'intérêt
    composé continu donnée par la formule:

 

où

  C0 = capital de départ
    e = le nombre irrationnel ≈ 2,71828
     i = taux d'intérêt
     t = nombre d'années
C(t) = Capital après t années.

 f) 

Vous voyez donc apparaître la fonction exponentielle e… dans cette formule.

Ceci provient de ce découpage de l'année en une infinité de périodes. En fait, on retrouve une des définitions du nombre e:




 

A RETENIR:  

  • Le graphe d'une situation d'intérêt composé est "en escalier".
     
  • Sans modifier le nombre d'années, on peut augmenter le nombre de marche d'escalier en découpant chaque année en plusieurs périodes :
            2 périodes pour capitaliser semestriellement
            4 périodes pour capitaliser trimestriellement (etc…)
  • En capitalisant toutes les minutes, on découpera l'année en 525'600 périodes.
    (je vous laisse le contrôler !!). La courbe obtenue sera pratiquement continue.
     
  • Si on imagine découper l'année en une infinité de périodes, la courbe obtenue correspondra à celle de la croissance continue où apparaît le nombre e.
  • Ceci nous justifie l'existence et l'utilité de la fonction f (x) = ex lors des phénomènes de croissance exponentielle.

Un exercice en 2 parties
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