Valeurs et vecteurs propres

L'animation ci-dessous permet de faire apparaître les vecteurs propres (et leur valeur propre correspondante) de l'application linéaire donnée par sa matrice A.

• Déplacez le vecteur v en saisissant le point bleu et observez son image A·v.
• En obtenant l'alignement des deux vecteurs, vous obtiendrez les informations au sujet du vecteur propre et de sa valeur propre correspondante.
• Cherchez alors un autre alignement de v et A·v.
• A partir de ces informations, pouvez-vous deviner quelle est la transformation géométrique représentée ?
• Les deux premiers curseurs en haut à droite peuvent alors vous aider. Voyez-vous à quoi ils correspondent ?
• Je vous laisse faire tous les essais que vous désirez :-)

La deuxième animation, ci-dessous, permet d'observer les vecteurs et valeurs propres d'une transformation linéaire de IR³.

Lorsque l'applet ci-dessous se sera chargé, utilisez les curseurs circulaires afin d'obtenir la matrice:

Vous y observez que pour la transformation proposée par la matrice A, le premier ainsi que le troisième vecteur Vλ₁ ,Vλ₃ ne sont pas des vecteurs propres. En effet, il n'y a pas d'alignement entre un vecteur et son image (utilisez les 2 poignées circulaires noires pour modifier la perspective). Pour faire apparaître le troisième vecteur, utilisez le petit curseur situé sur sa gauche. Vous constaterez, après avoir fait apparaître le 2^ème vecteur Vλ₂, que celui-ci est bien un vecteur propre.
Je vous propose de tester les vecteurs suivants:

Vλ₁ = (1 ; 0 ; 1)     et     Vλ₂ = (0 ; 1 ; 0)      et    Vλ₃ = (2 ; 1 ; 1)

Puisque les 2 premiers vecteurs propres sont associés à la même valeur propre λ = -1, vous pouvez observer l'espace propre associé à cette valeur propre.

Cette animation vous permet donc de visualiser et de contrôler vos calculs "à la main" des valeurs et vecteurs propres de vos exercices  ;-)
Si vous avez un doute sur la manipulation de cette animation, cliquez ici.

Et si vous désirez une programmation online qui vous calcule les valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme: cliquez ici