La sécante devient tangente

Tracer aproximativement la tangente à une courbe y = f (x) à l'aide d'une règle est une manipulation assez facile. Mais calculer sa pente algébriquement est une autre affaire !!!

L'idée consiste à considérer un 2ème point B, variable sur la courbe y = f (x) puis de tracer la droite passant par A et B. Cette droite s'appelle la sécante AB.

En approchant le point B du point A, la sécante va progressivement s'approcher puis se superposer à cette tangente au point A.

1) Sur l'animation ci-dessous, déplacez le point B afin d'amener la sécante AB sur la tangente au point A.
    Observer la variation de la pente de la sécante AB

 

2) Vous pouvez également approcher le point B du point A depuis la gauche.
3) Lorsque B se superpose exactement à A, le calcul de la pente de la sécante devient Δy/Δx = non défini.
    Voyez-vous pourquoi ?
4) Quel moyen avons nous pour lever cette indétermination (0/0)

 

A mémoriser:
  • La pente de la tangente en un point A d'une courbe y = f (x) se calcul à l'aide d'une sécante AB en choisissant un 2e point B sur la courbe.
     
  • La pente de cette sécante ce calcul grâce à:

    pente de la séquente = \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)

  • Cette sécante devient tangente lorsque B → A
     
  • Dans ce cas, Δy/Δx = 0/0 = indéterminé.
     
  • Pour lever cette indétermination, on devra utiliser le calcul de limite:

    pente de la tangente = \(\small{\lim\limits_{B \to A}}\,\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)

  • Si en un point A, la courbe monte, alos la pente de la tangente en ce point est positive.
     
  • Si en un point A, la courbe descend, alos la pente de la tangente en ce point est négative.
     
  • Si en un point A, la courbe est plate (horizontale) , alors la pente de la tangente en ce point vaut zéro.
Suite des éléments Théoriques
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